====== Nützliche Formeln ======

Hier sind einige nützliche Formeln zur Verwendung als Zahlengleichungen zusammengefasst. In aller Regel ist die zugrunde liegende Formel dabei auf der linken, und die daraus abgeleitete Zahlengleichung auf der rechten Seite abgebildet.

/* Hilfe für die Syntax von LaTeX: http://en.wikibooks.org/wiki/LaTeX */


===== Optik =====

==== Photonenenergie ↔ Wellenzahl oder Wellenlänge ====

$1\:\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\:\mathrm{J}$ entspricht etwa $8000\:\mathrm{cm}^{-1}$ oder $1.2\:\mathrm{\mu m}$.

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$E=h\nu=h{c\over\lambda}$$</WRAP>
<WRAP right>\begin{align*}E[\mathrm{eV}] &= 1.24 \times 10^{-4}\nu[\mathrm{cm}^{-1}]\\
E[\mathrm{J}] &= {1.986 \times 10^{-19}\over \lambda[\mathrm{\mu m}]}\end{align*}</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>


==== Wellenzahl ↔ Wellenlänge ====

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$\nu={1\over\lambda}$$</WRAP>
<WRAP right>$$\nu[\mathrm{cm}^{-1}]={10^4\over\lambda[\mathrm{\mu m}]}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>


==== Interferenz an einer planparallelen Platte ====

Beispiele sind der FSR »Free Spectral Range« von Etalons oder die Axialmoden eines Laserresonators.

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$\Delta\nu={1\over{2nd}}$$</WRAP>
<WRAP right>$$\Delta\nu[\mathrm{cm}^{-1}]={1\over{2nd[\mathrm{cm}]}}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>

Darin ist $\Delta\nu$ die Periode des Etalons in Wellenzahlen, $n$ der Brechungsindex des Etalons und $d$ die mechanische Länge. Für Germanium gilt typischerweise $n=4$. Entsprechend:

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$${\Delta\lambda\over\lambda^2}={1\over{2nd}}$$</WRAP>
<WRAP right></WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>

===== Thermodynamik =====


==== Teilchenzahldichte eines idealen Gases ====

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$${n\over V}={p\over{RT}}$$</WRAP>
<WRAP right>$${{n\over V}[\mathrm{cm}^{-3}]}=7.24 \times 10^{18}\:{{p[\mathrm{hPa}]}\over{T[\mathrm{K}]}}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>


===== Schwarzkörperstrahlung =====


==== Wiensches Verschiebungsgesetz ====

<WRAP center 80%>
$$\lambda_{\mathrm{max}} [\mathrm{\mu m}] = {2897,8 \over {T [\mathrm{K}]}}$$
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>
Darin ist $\lambda_{\mathrm{max}}$ die Wellenlänge des Intensitätsmaximums der Schwarzkörperstrahlung. Die [[wpde>Wiensches_Verschiebungsgesetz|Herleitung]] findet man bei Wikipedia.


==== Bandbegrenzte Schwarzkörperstrahlung ====

Für den Anteil $f$ der Schwarzkörperstrahlung in einem Wellenlängenband von $\lambda_1$ bis $\lambda_2 > \lambda_1$ ist folgendes Integral numerisch zu lösen:
<WRAP center 80%>
$$f = {15 \over \pi^4} \int_{x_2}^{x_1}{x^3 \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x \;\;\;\mathrm{mit}\;\;\; x = {14387 \over {T [\mathrm{K}] \lambda [\mathrm{\mu m}]}}$$
</WRAP>
Zählt man Photonen anstatt Energie zu messen, ist dieses Verhältnis $g$ gegeben durch:
<WRAP center 80%>
$$g = {1 \over 2.4041} \int_{x_2}^{x_1}{x^2 \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x$$
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>
//Anmerkung// Das bestimmte Integral $\int_0^{\infty}{{x^{n - 1} \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x} = \Gamma(n) \zeta(n)$ (siehe dazu Integral 1.6 in den [[wb>Formelsammlung_Mathematik:_Bestimmte_Integrale:_Form_R(x,exp)|Wikibooks]]) ergibt für den ersten Fall $\Gamma(4) \zeta(4) = 3! {\pi^4 \over 90}$ und im zweiten Fall $\Gamma(3) \zeta(3) = 2 \times 1.20205690$… Wirklich viel mehr zur [[wpde>Riemannsche ζ-Funktion]] gibt es in der Wikipedia.

===== IR-Detektoren =====

==== Spitzenstrahlungsempfindlichkeit (Peak Responsivity) einer Fotodiode ====

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$R_\mathrm{p}=\eta\:{e\over{hc}}\:\lambda$$</WRAP>
<WRAP right>$${R_\mathrm{p}\:[\mathrm{A}\mathrm{W}^{-1}]}=\eta\:{{\lambda\:[\mu\mathrm{m}]}\over{1.240}}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>


==== Spitzendetektivität (Peak Detectivity) einer Fotodiode ====

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$D^*_\mathrm{p}={R_\mathrm{p}\over{i}}\:\sqrt{A}={R_\mathrm{p}R_\mathrm{f}\over{u}}\:\sqrt{A}$$</WRAP>
<WRAP right>$${D^*_\mathrm{p}\:[10^{10}\:\text{Jones}]}=10^5\:{{R_\mathrm{p}\:[\mathrm{A}\:\mathrm{W}^{-1}]R_\mathrm{f}\:[\mathrm{M\Omega}]}\over{u\:[\mathrm{nV}\;\mathrm{Hz}^{-1/2}]}}\sqrt{A\:[\mathrm{cm}^2]}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>
Diese Formel nützt der Abschätzung der maximal erzielbaren Detektivität eines Detektorelements (mit Transimpedanzverstärker). Darin ist:
  * $R_\mathrm{p}$ die Peak Responsivity,
  * $i=u/R_\mathrm{f} $ die gesamte Rauschstromdichte, mit $u$ als gesamte Rauschspannungsdichte und $R_\mathrm{f}$ als Transimpedanz (Widerstand der Rückkopplung),
  * $A$ die Detektorfläche.

==== Hintergrundlimitierte Detektivität einer Fotodiode ====

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$D^\star_\mathrm{BLIP}=\sqrt{{\eta\:\lambda}\over{2\:hc\:E}}$$</WRAP>
<WRAP right>$$D^\star_\mathrm{BLIP}[\mathrm{cm \sqrt{\mathrm{Hz}}\:\mathrm{W}^{-1}}] = D^\star_\mathrm{BLIP}[\mathrm{Jones}]=1.587\times10^9\sqrt{{\eta\:\lambda [\mu \mathrm{m}]}\over{E [\mathrm{W}\:\mathrm{cm}^{-2}]}}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>
Darin ist $E = \Phi/A$ die Bestrahlungsstärke, $\Phi$ die Strahlungsleistung und $A$ die bestrahlte Fläche (Detektorfläche).


===== Elektronik =====

==== Bandkante eines RC-Glieds ====

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$f_\mathrm{3dB} = {1 \over{2 \pi R C}}$$</WRAP>
<WRAP right>$$f_\mathrm{3dB} [\mathrm{kHz}]= {159,2 \over{R [\mathrm{k\Omega}] C [\mathrm{nF}]}}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>


==== Kennlinie einer diffusionsbegrenzten Diode ====

<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$I = I_\mathrm{sat} \left[\exp\left({{eU}\over{kT}}\right) - 1\right] \;\;\mathrm{mit}\;\; I_\mathrm{sat} = {{kT}\over{eR_0}}$$</WRAP>
<WRAP right>$${{kT} \over e} = 86,175\; \mathrm{\mu V} \times T[\mathrm{K}]$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>

==== Thermisches Rauschen ====

Zur Erklärung siehe auch [[wpde>Wärmerauschen]].
<WRAP center 80%>
<WRAP left>$${U \over \sqrt {\Delta f}} = \sqrt{4kT\,R}$$</WRAP>
<WRAP right>$${U \over \sqrt {\Delta f}} [ \mathrm{nV\,Hz^{-1/2} ]} = 7,4316 \sqrt{T[\mathrm{K}] R[\mathrm{M\Omega}]}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>

==== Schrotrauschen ====
Schrotrauschen, engl. »Schottky noise«, tritt auf, falls Ladungsträger eine Potentialbarriere überwinden müssen. Zur Erklärung siehe auch [[wpde>Schrotrauschen]]. Der Wikipedia-Artikel [[wpde>Stromrauschen]] fasst Rauschquellen bei einem vorhandenen elektrischen Strom zusammen.
<WRAP center 80%>
<WRAP left>$${U \over \sqrt {\Delta f}} = \sqrt{2e\,I} \; R$$</WRAP>
<WRAP right>$${U \over \sqrt {\Delta f}} [ \mathrm{nV\,Hz^{-1/2} ]} = 17,901 \sqrt{I[\mathrm{nA}]} \; R[\mathrm{M\Omega}]$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>

===== Mechanik =====

==== Fahrwiderstand ====
Die elementaren Formeln des [[wpde>Fahrwiderstand]]s als Zahlengleichungen für ein Mittelklassefahrzeug wie einen VW Golf. Dabei beschränken wir uns auf den Luftwiderstand $F_\mathrm{L}$, der den Energieverbrauch bei hohen Geschwindigkeiten bestimmt, und den Rollwiderstand $F_\mathrm{R}$. Als typische Werte sind verwendet: $\rho_\mathrm{L} = 1,2\,\mathrm{kg\,m}^{-3}$, $c_\mathrm{W} = 0,3$, $A = 2,2\,\mathrm{m}^2$, sowie $f_\mathrm{R} = 0,013$ und $m = 1,5\,\mathrm{t}$.
<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$F_\mathrm{L} = c_\mathrm{W}\,A\, {{\rho_\mathrm{L}\,v^2} \over 2}$$</WRAP>
<WRAP right>$$F_\mathrm{L} [\mathrm{N}] = 306\,v^2 [100\,\mathrm{km\,h}^{-1}]$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>
<WRAP center 80%>
<WRAP left>$$F_\mathrm{R} = f_\mathrm{R}\,m\,g$$</WRAP>
<WRAP right>$$F_\mathrm{R} = 191\,\mathrm{N}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>
Für den Energieverbrauch (oder in etwa den Benzinverbrauch) pro mit konstanter Geschwindigkeit gefahrener ebener Strecke gilt dann $E\,s^{-1} = P\,v^{-1} = F_\mathrm{R} + F_\mathrm{L}$. Die häufig verwendete Einheit $E\,s^{-1} = 1\,\mathrm{kWh/100km}$ entspricht dabei $36\,\mathrm{N}$.

===== Gravitation =====

==== Schwarzschild-Radius ====
Der Schwarzschild-Radius ist der Radius des Ereignishorizonts eines nichtrotierenden schwarzen Lochs. Für eine Sonnenmasse $M_{\odot} \approx 2 \cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$ beträgt er knapp $3\,\mathrm{km}$.
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<WRAP left>$$r_\mathrm{s} = {2 G M \over c^2}$$</WRAP>
<WRAP right>$$r_\mathrm{s} = 2,95\,\mathrm{km}\;{M \over M_{\odot}}$$</WRAP>
</WRAP>
<WRAP clear></WRAP>