Inhaltsverzeichnis
Nützliche Formeln
Hier sind einige nützliche Formeln zur Verwendung als Zahlengleichungen zusammengefasst. In aller Regel ist die zugrunde liegende Formel dabei auf der linken, und die daraus abgeleitete Zahlengleichung auf der rechten Seite abgebildet.
Optik
Photonenenergie ↔ Wellenzahl oder Wellenlänge
$1\:\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\:\mathrm{J}$ entspricht etwa $8000\:\mathrm{cm}^{-1}$ oder $1.2\:\mathrm{\mu m}$.
$$E=h\nu=h{c\over\lambda}$$
\begin{align*}E[\mathrm{eV}] &= 1.24 \times 10^{-4}\nu[\mathrm{cm}^{-1}]\\ E[\mathrm{J}] &= {1.986 \times 10^{-19}\over \lambda[\mathrm{\mu m}]}\end{align*}
Wellenzahl ↔ Wellenlänge
$$\nu={1\over\lambda}$$
$$\nu[\mathrm{cm}^{-1}]={10^4\over\lambda[\mathrm{\mu m}]}$$
Interferenz an einer planparallelen Platte
Beispiele sind der FSR »Free Spectral Range« von Etalons oder die Axialmoden eines Laserresonators.
$$\Delta\nu={1\over{2nd}}$$
$$\Delta\nu[\mathrm{cm}^{-1}]={1\over{2nd[\mathrm{cm}]}}$$
Darin ist $\Delta\nu$ die Periode des Etalons in Wellenzahlen, $n$ der Brechungsindex des Etalons und $d$ die mechanische Länge. Für Germanium gilt typischerweise $n=4$. Entsprechend:
$${\Delta\lambda\over\lambda^2}={1\over{2nd}}$$
Thermodynamik
Teilchenzahldichte eines idealen Gases
$${n\over V}={p\over{RT}}$$
$${{n\over V}[\mathrm{cm}^{-3}]}=7.24 \times 10^{18}\:{{p[\mathrm{hPa}]}\over{T[\mathrm{K}]}}$$
Schwarzkörperstrahlung
Wiensches Verschiebungsgesetz
$$\lambda_{\mathrm{max}} [\mathrm{\mu m}] = {2897,8 \over {T [\mathrm{K}]}}$$
Darin ist $\lambda_{\mathrm{max}}$ die Wellenlänge des Intensitätsmaximums der Schwarzkörperstrahlung. Die Herleitung findet man bei Wikipedia.
Bandbegrenzte Schwarzkörperstrahlung
Für den Anteil $f$ der Schwarzkörperstrahlung in einem Wellenlängenband von $\lambda_1$ bis $\lambda_2 > \lambda_1$ ist folgendes Integral numerisch zu lösen:
$$f = {15 \over \pi^4} \int_{x_2}^{x_1}{x^3 \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x \;\;\;\mathrm{mit}\;\;\; x = {14387 \over {T [\mathrm{K}] \lambda [\mathrm{\mu m}]}}$$
Zählt man Photonen anstatt Energie zu messen, ist dieses Verhältnis $g$ gegeben durch:
$$g = {1 \over 2.4041} \int_{x_2}^{x_1}{x^2 \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x$$
Anmerkung Das bestimmte Integral $\int_0^{\infty}{{x^{n - 1} \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x} = \Gamma(n) \zeta(n)$ (siehe dazu Integral 1.6 in den Wikibooks) ergibt für den ersten Fall $\Gamma(4) \zeta(4) = 3! {\pi^4 \over 90}$ und im zweiten Fall $\Gamma(3) \zeta(3) = 2 \times 1.20205690$… Wirklich viel mehr zur Riemannsche ζ-Funktion gibt es in der Wikipedia.
IR-Detektoren
Spitzenstrahlungsempfindlichkeit (Peak Responsivity) einer Fotodiode
$$R_\mathrm{p}=\eta\:{e\over{hc}}\:\lambda$$
$${R_\mathrm{p}\:[\mathrm{A}\mathrm{W}^{-1}]}=\eta\:{{\lambda\:[\mu\mathrm{m}]}\over{1.240}}$$
Spitzendetektivität (Peak Detectivity) einer Fotodiode
$$D^*_\mathrm{p}={R_\mathrm{p}\over{i}}\:\sqrt{A}={R_\mathrm{p}R_\mathrm{f}\over{u}}\:\sqrt{A}$$
$${D^*_\mathrm{p}\:[10^{10}\:\text{Jones}]}=10^5\:{{R_\mathrm{p}\:[\mathrm{A}\:\mathrm{W}^{-1}]R_\mathrm{f}\:[\mathrm{M\Omega}]}\over{u\:[\mathrm{nV}\;\mathrm{Hz}^{-1/2}]}}\sqrt{A\:[\mathrm{cm}^2]}$$
Diese Formel nützt der Abschätzung der maximal erzielbaren Detektivität eines Detektorelements (mit Transimpedanzverstärker). Darin ist:
- $R_\mathrm{p}$ die Peak Responsivity,
- $i=u/R_\mathrm{f} $ die gesamte Rauschstromdichte, mit $u$ als gesamte Rauschspannungsdichte und $R_\mathrm{f}$ als Transimpedanz (Widerstand der Rückkopplung),
- $A$ die Detektorfläche.
Hintergrundlimitierte Detektivität einer Fotodiode
$$D^\star_\mathrm{BLIP}=\sqrt{{\eta\:\lambda}\over{2\:hc\:E}}$$
$$D^\star_\mathrm{BLIP}[\mathrm{cm \sqrt{\mathrm{Hz}}\:\mathrm{W}^{-1}}] = D^\star_\mathrm{BLIP}[\mathrm{Jones}]=1.587\times10^9\sqrt{{\eta\:\lambda [\mu \mathrm{m}]}\over{E [\mathrm{W}\:\mathrm{cm}^{-2}]}}$$
Darin ist $E = \Phi/A$ die Bestrahlungsstärke, $\Phi$ die Strahlungsleistung und $A$ die bestrahlte Fläche (Detektorfläche).
Elektronik
Bandkante eines RC-Glieds
$$f_\mathrm{3dB} = {1 \over{2 \pi R C}}$$
$$f_\mathrm{3dB} [\mathrm{kHz}]= {159,2 \over{R [\mathrm{k\Omega}] C [\mathrm{nF}]}}$$
Kennlinie einer diffusionsbegrenzten Diode
$$I = I_\mathrm{sat} \left[\exp\left({{eU}\over{kT}}\right) - 1\right] \;\;\mathrm{mit}\;\; I_\mathrm{sat} = {{kT}\over{eR_0}}$$
$${{kT} \over e} = 86,175\; \mathrm{\mu V} \times T[\mathrm{K}]$$
Thermisches Rauschen
Zur Erklärung siehe auch Wärmerauschen.
$${U \over \sqrt {\Delta f}} = \sqrt{4kT\,R}$$
$${U \over \sqrt {\Delta f}} [ \mathrm{nV\,Hz^{-1/2} ]} = 7,4316 \sqrt{T[\mathrm{K}] R[\mathrm{M\Omega}]}$$
Schrotrauschen
Schrotrauschen, engl. »Schottky noise«, tritt auf, falls Ladungsträger eine Potentialbarriere überwinden müssen. Zur Erklärung siehe auch Schrotrauschen. Der Wikipedia-Artikel Stromrauschen fasst Rauschquellen bei einem vorhandenen elektrischen Strom zusammen.
$${U \over \sqrt {\Delta f}} = \sqrt{2e\,I} \; R$$
$${U \over \sqrt {\Delta f}} [ \mathrm{nV\,Hz^{-1/2} ]} = 17,901 \sqrt{I[\mathrm{nA}]} \; R[\mathrm{M\Omega}]$$
Mechanik
Fahrwiderstand
Die elementaren Formeln des Fahrwiderstands als Zahlengleichungen für ein Mittelklassefahrzeug wie einen VW Golf. Dabei beschränken wir uns auf den Luftwiderstand $F_\mathrm{L}$, der den Energieverbrauch bei hohen Geschwindigkeiten bestimmt, und den Rollwiderstand $F_\mathrm{R}$. Als typische Werte sind verwendet: $\rho_\mathrm{L} = 1,2\,\mathrm{kg\,m}^{-3}$, $c_\mathrm{W} = 0,3$, $A = 2,2\,\mathrm{m}^2$, sowie $f_\mathrm{R} = 0,013$ und $m = 1,5\,\mathrm{t}$.
$$F_\mathrm{L} = c_\mathrm{W}\,A\, {{\rho_\mathrm{L}\,v^2} \over 2}$$
$$F_\mathrm{L} [\mathrm{N}] = 306\,v^2 [100\,\mathrm{km\,h}^{-1}]$$
$$F_\mathrm{R} = f_\mathrm{R}\,m\,g$$
$$F_\mathrm{R} = 191\,\mathrm{N}$$
Für den Energieverbrauch (oder in etwa den Benzinverbrauch) pro mit konstanter Geschwindigkeit gefahrener ebener Strecke gilt dann $E\,s^{-1} = P\,v^{-1} = F_\mathrm{R} + F_\mathrm{L}$. Die häufig verwendete Einheit $E\,s^{-1} = 1\,\mathrm{kWh/100km}$ entspricht dabei $36\,\mathrm{N}$.
Gravitation
Schwarzschild-Radius
Der Schwarzschild-Radius ist der Radius des Ereignishorizonts eines nichtrotierenden schwarzen Lochs. Für eine Sonnenmasse $M_{\odot} \approx 2 \cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$ beträgt er knapp $3\,\mathrm{km}$.
$$r_\mathrm{s} = {2 G M \over c^2}$$
$$r_\mathrm{s} = 2,95\,\mathrm{km}\;{M \over M_{\odot}}$$
