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Nützliche Formeln

Hier sind einige nützliche Formeln zur Verwendung als Zahlengleichungen zusammengefasst. In aller Regel ist die zugrunde liegende Formel dabei auf der linken, und die daraus abgeleitete Zahlengleichung auf der rechten Seite abgebildet.

Optik

Photonenenergie ↔ Wellenzahl oder Wellenlänge

$1\:\mathrm{eV} = 1.602 \times 10^{-19}\:\mathrm{J}$ entspricht etwa $8000\:\mathrm{cm}^{-1}$ oder $1.2\:\mathrm{\mu m}$.

$$E=h\nu=h{c\over\lambda}$$

\begin{align*}E[\mathrm{eV}] &= 1.24 \times 10^{-4}\nu[\mathrm{cm}^{-1}]\\ E[\mathrm{J}] &= {1.986 \times 10^{-19}\over \lambda[\mathrm{\mu m}]}\end{align*}

Wellenzahl ↔ Wellenlänge

$$\nu={1\over\lambda}$$

$$\nu[\mathrm{cm}^{-1}]={10^4\over\lambda[\mathrm{\mu m}]}$$

Interferenz an einer planparallelen Platte

Beispiele sind der FSR »Free Spectral Range« von Etalons oder die Axialmoden eines Laserresonators.

$$\Delta\nu={1\over{2nd}}$$

$$\Delta\nu[\mathrm{cm}^{-1}]={1\over{2nd[\mathrm{cm}]}}$$

Darin ist $\Delta\nu$ die Periode des Etalons in Wellenzahlen, $n$ der Brechungsindex des Etalons und $d$ die mechanische Länge. Für Germanium gilt typischerweise $n=4$. Entsprechend:

$${\Delta\lambda\over\lambda^2}={1\over{2nd}}$$

Thermodynamik

Teilchenzahldichte eines idealen Gases

$${n\over V}={p\over{RT}}$$

$${{n\over V}[\mathrm{cm}^{-3}]}=7.24 \times 10^{18}\:{{p[\mathrm{hPa}]}\over{T[\mathrm{K}]}}$$

Schwarzkörperstrahlung

Wiensches Verschiebungsgesetz

$$\lambda_{\mathrm{max}} [\mathrm{\mu m}] = {2897,8 \over {T [\mathrm{K}]}}$$

Darin ist $\lambda_{\mathrm{max}}$ die Wellenlänge des Intensitätsmaximums der Schwarzkörperstrahlung. Die Herleitung findet man bei Wikipedia.

Bandbegrenzte Schwarzkörperstrahlung

Für den Anteil $f$ der Schwarzkörperstrahlung in einem Wellenlängenband von $\lambda_1$ bis $\lambda_2 > \lambda_1$ ist folgendes Integral numerisch zu lösen:

$$f = {15 \over \pi^4} \int_{x_2}^{x_1}{x^3 \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x \;\;\;\mathrm{mit}\;\;\; x = {14387 \over {T [\mathrm{K}] \lambda [\mathrm{\mu m}]}}$$

Zählt man Photonen anstatt Energie zu messen, ist dieses Verhältnis $g$ gegeben durch:

$$g = {1 \over 2.4041} \int_{x_2}^{x_1}{x^2 \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x$$

Anmerkung Das bestimmte Integral $\int_0^{\infty}{{x^{n - 1} \over {e^x - 1}} \, \mathrm{d}x} = \Gamma(n) \zeta(n)$ (siehe dazu Integral 1.6 in den Wikibooks) ergibt für den ersten Fall $\Gamma(4) \zeta(4) = 3! {\pi^4 \over 90}$ und im zweiten Fall $\Gamma(3) \zeta(3) = 2 \times 1.20205690$… Wirklich viel mehr zur Riemannsche ζ-Funktion gibt es in der Wikipedia.

IR-Detektoren

Spitzenstrahlungsempfindlichkeit (Peak Responsivity) einer Fotodiode

$$R_\mathrm{p}=\eta\:{e\over{hc}}\:\lambda$$

$${R_\mathrm{p}\:[\mathrm{A}\mathrm{W}^{-1}]}=\eta\:{{\lambda\:[\mu\mathrm{m}]}\over{1.240}}$$

Spitzendetektivität (Peak Detectivity) einer Fotodiode

$$D^*_\mathrm{p}={R_\mathrm{p}\over{i}}\:\sqrt{A}={R_\mathrm{p}R_\mathrm{f}\over{u}}\:\sqrt{A}$$

$${D^*_\mathrm{p}\:[10^{10}\:\text{Jones}]}=10^5\:{{R_\mathrm{p}\:[\mathrm{A}\:\mathrm{W}^{-1}]R_\mathrm{f}\:[\mathrm{M\Omega}]}\over{u\:[\mathrm{nV}\;\mathrm{Hz}^{-1/2}]}}\sqrt{A\:[\mathrm{cm}^2]}$$

Diese Formel nützt der Abschätzung der maximal erzielbaren Detektivität eines Detektorelements (mit Transimpedanzverstärker). Darin ist:

  • $R_\mathrm{p}$ die Peak Responsivity,
  • $i=u/R_\mathrm{f} $ die gesamte Rauschstromdichte, mit $u$ als gesamte Rauschspannungsdichte und $R_\mathrm{f}$ als Transimpedanz (Widerstand der Rückkopplung),
  • $A$ die Detektorfläche.

Hintergrundlimitierte Detektivität einer Fotodiode

$$D^\star_\mathrm{BLIP}=\sqrt{{\eta\:\lambda}\over{2\:hc\:E}}$$

$$D^\star_\mathrm{BLIP}[\mathrm{cm \sqrt{\mathrm{Hz}}\:\mathrm{W}^{-1}}] = D^\star_\mathrm{BLIP}[\mathrm{Jones}]=1.587\times10^9\sqrt{{\eta\:\lambda [\mu \mathrm{m}]}\over{E [\mathrm{W}\:\mathrm{cm}^{-2}]}}$$

Darin ist $E = \Phi/A$ die Bestrahlungsstärke, $\Phi$ die Strahlungsleistung und $A$ die bestrahlte Fläche (Detektorfläche).

Elektronik

Bandkante eines RC-Glieds

$$f_\mathrm{3dB} = {1 \over{2 \pi R C}}$$

$$f_\mathrm{3dB} [\mathrm{kHz}]= {159,2 \over{R [\mathrm{k\Omega}] C [\mathrm{nF}]}}$$

Kennlinie einer diffusionsbegrenzten Diode

$$I = I_\mathrm{sat} \left[\exp\left({{eU}\over{kT}}\right) - 1\right] \;\;\mathrm{mit}\;\; I_\mathrm{sat} = {{kT}\over{eR_0}}$$

$${{kT} \over e} = 86,175\; \mathrm{\mu V} \times T[\mathrm{K}]$$

Thermisches Rauschen

Zur Erklärung siehe auch Wärmerauschen.

$${U \over \sqrt {\Delta f}} = \sqrt{4kT\,R}$$

$${U \over \sqrt {\Delta f}} [ \mathrm{nV\,Hz^{-1/2} ]} = 7,4316 \sqrt{T[\mathrm{K}] R[\mathrm{M\Omega}]}$$

Schrotrauschen

Schrotrauschen, engl. »Schottky noise«, tritt auf, falls Ladungsträger eine Potentialbarriere überwinden müssen. Zur Erklärung siehe auch Schrotrauschen. Der Wikipedia-Artikel Stromrauschen fasst Rauschquellen bei einem vorhandenen elektrischen Strom zusammen.

$${U \over \sqrt {\Delta f}} = \sqrt{2e\,I} \; R$$

$${U \over \sqrt {\Delta f}} [ \mathrm{nV\,Hz^{-1/2} ]} = 17,901 \sqrt{I[\mathrm{nA}]} \; R[\mathrm{M\Omega}]$$

Gravitation

Schwarzschild-Radius

Der Schwarzschild-Radius ist der Radius des Ereignishorizonts eines nichtrotierenden schwarzen Lochs. Für eine Sonnenmasse $M_{\odot} \approx 2 \cdot 10^{30}\,\mathrm{kg}$ beträgt er knapp $3\,\mathrm{km}$.

$$r_\mathrm{s} = {2 G M \over c^2}$$

$$r_\mathrm{s} = 2,95\,\mathrm{km}\;{M \over M_{\odot}}$$


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